A számrendszerekről általában
A számítógép működése alapvetően a kettes számrendszerre épül. A kettes számrendszerben történő számábrázolás nehézsége miatt gyakran alkalmazzák a tizenhatos számrendszerbeli számábrázolást is. Ismerkedjünk meg a különböző számrendszerekben történő számolás módjával!
A számrendszerek a valós számok ábrázolására szolgáló jelek és alkalmazásukra vonatkozó szabályok összessége.
Minden számjegypozícióhoz egy helyiértéket rendelünk, és a valós szám értékét az egyes helyiértékek és a hozzájuk tartozó értékek szorzatainak összege adja.
A mennyiségeket a számrendszer alapjának hatványaival írjuk fel, ahol a számrendszer alapja bármely 1-nél nagyobb egész szám lehet.
A mindennapi gyakorlatban használt tízes számrendszerben a számokat a tíz hatványaival ábrázoljuk. Lássunk egy példát!
A 2532 tízes számrendszerbeli számot az alábbi formában írhatjuk fel:
| 103 | 102 | 101 | 100 |
| 2 | 5 | 3 | 2 |
Ennek az értékét a következő módon számíthatjuk ki:
2 x 103 + 5 x 102 + 3 x 101 + 2 x 100 =
2 x 1000 + 5 x 100 + 3 x 10 + 2 x 1 =
2000 + 500 + 30 + 2 =
2532
Kettes (bináris) számrendszer
A kettes vagy más néven bináris számrendszerbeli számok a 0 és az 1 számjegyekből állnak. A számjegyek helyiértékeit az alábbi táblázatban foglaltuk össze.
Átváltás decimális számrendszerből bináris számrendszerbe
A számítógépen leggyakrabban nyolc számjegyből álló bináris számokkal találkozhatunk. A nyolc számjegyen ábrázolható legnagyobb érték a 255=(128+64+32+16+8+4+2+1).
A tízes (decimális) számrendszerbeli számokat kettővel való maradékos osztással tudjuk a legegyszerűbben bináris számrendszerbeli számmá alakítani.
Az átalakítandó számot osszuk el kettővel. Minden osztásnál jegyezzük fel a maradékot. Folytassuk az egészrésszel való osztást, amíg nullát nem kapunk.
Lássunk erre egy példát! Az átváltandó szám: 8110.
Az így kapott maradékokat lentről felfelé olvasva kapjuk meg a bináris számot: 10100012.
Átváltás bináris számrendszerből decimális számrendszerbe
A bináris számrendszerbeli számokat úgy válthatjuk át decimális számrendszerbe, hogy a bináris szám egyes számjegyeit megszorozzuk a hozzájuk tartozó helyiértékekkel, majd az így kapott értékeket összeadjuk.
Például az 100010112 bináris szám decimális értékét az alábbi módon számíthatjuk ki:
Tizenhatos (hexadecimális) számrendszer
A tizenhatos vagy más néven hexadecimális számrendszerbeli számok 0 és 15 közötti helyiértékeket tartalmazhatnak, melyek a következők: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
Az egyes betűk a következő értékeket szimbolizálják:
A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15
A számjegyek helyiértékeit az alábbi táblázatban foglaltuk össze.
Átváltás decimális számrendszerből hexadecimális számrendszerbe
A decimális számrendszerbeli számokat tizenhattal való maradékos osztással tudjuk hexadecimális számrendszerbeli számmá alakítani.
Az átalakítandó számot osszuk el tizenhattal. Minden osztásnál jegyezzük fel a maradékot. Folytassuk az egészrésszel való osztást, amíg nullát nem kapunk. Figyeljünk arra, hogy 10-től felfelé az értékeket betűkkel jelöljük!
Lássunk erre egy példát! Az átalakítandó szám: 101510.
Az így kapott maradékokat lentről felfelé olvasva kapjuk meg a hexadecimális számot: 3F716.
Átváltás hexadecimális számrendszerből decimális számrendszerbe
A hexadecimális számrendszerbeli számokat úgy válthatjuk át decimális számrendszerbe, hogy a hexadecimális szám egyes számjegyeit megszorozzuk a hozzájuk tartozó helyiértékekkel, majd az így kapott értékeket összeadjuk.
Például az A516 hexadecimális szám decimális értékét az alábbi módon számíthatjuk ki.
Átváltás bináris számrendszerből hexadecimális számrendszerbe
Bináris számrendszerből hexadecimális számrendszerbe történő átváltáskor a bináris szám számjegyeit osszuk a szám utolsó számjegyétől kezdve négyes csoportokra. Ha az első csoportban négynél kevesebb számjegy szerepel, az első számjegy elé annyi nullát írjunk, hogy négy számjegyet kapjunk. Számítsuk ki az egyes csoportok értékeit, majd az így kapott számokat váltsuk át hexadecimális számjegyekké és olvassuk össze.
Lássunk egy példát! Az átváltandó szám az 101111110012.
A táblázat utolsó sorát balról jobbra összeolvasva az eredmény tehát: 5F916
Átváltás hexadecimális számrendszerből bináris számrendszerbe
A hexadecimális számrendszerbeli számok bináris számrendszerbeli számmá történő átalakításához első lépésként váltsuk át a hexadecimális számjegyeket decimális számokká. Az így kapott értékeket váltsuk át bináris számokká, majd az eredményt olvassuk össze.
Lássunk egy példát! Az átváltandó szám a 7BA16
A táblázat utolsó sorát balról jobbra összeolvasva az eredmény tehát: 111101110102
Boole-algebra
Egy halmazt a rajta értelmezett műveletekkel és tulajdonságokkal együtt Boole-algebrának nevezünk.
Logikai műveletek
A bináris számrendszerben felírt számokkal különböző műveleteket is végezhetünk. A számrendszer egy-egy számjegye megfelel egy-egy logikai kijelentésnek (0-hamis, 1-igaz), így elsősorban logikai műveletek végzésére alkalmas. Minden logikai művelet operandusokból (a,b,c,…,z) és logikai operátorokból (NOT, AND, OR, XOR, IMP, EQ) áll. A logikai műveletek legegyszerűbb megjelenítési módja az igazságtáblázat.
A műveleteket két csoportra bonthatjuk, az egy változóval, illetve a több változóval végezhető műveletekre. Egy logikai kifejezésnek kétféle logikai értéke lehet: ha igaz 1, ha hamis 0.
Egy változóval végezhető logikai művelet a NEM (NOT), amely az állítások logikai értékét fordítja meg.
A NOT logikai művelet igazságtáblázata:
Több változóval végezhető művelet a logikai ÉS (AND) művelet, amely logikai értéke csak abban az esetben IGAZ, ha minden, a műveletben részt vevő kifejezés logikai értéke IGAZ, minden más esetben HAMIS logikai értéket ad.
Az AND logikai művelet igazságtáblázata:
A több változóval végezhető logikai műveletek közé tartozik a logikai VAGY (OR) művelet is. Logikai értéke IGAZ, ha a műveletben részt vevő kifejezések logikai értékének bármelyike IGAZ. A művelet logikai értéke csak akkor lesz HAMIS, ha a műveletben részt vevő kifejezések logikai értékének mindegyike HAMIS.
Az OR logikai művelet igazságtáblázata:
A logikai VAGY művelet mellett fontos szerepet kap a logikai
KIZÁRÓ VAGY (XOR) művelet is. Logikai értéke akkor ad IGAZ eredményt, ha a műveletben részt vevő kifejezések logikai értékei különbözőek. Abban az esetben, ha a műveletben részt vevő kifejezések logikai értékei megegyeznek, HAMIS logikai értéket kapunk eredményül.
KIZÁRÓ VAGY (XOR) művelet is. Logikai értéke akkor ad IGAZ eredményt, ha a műveletben részt vevő kifejezések logikai értékei különbözőek. Abban az esetben, ha a műveletben részt vevő kifejezések logikai értékei megegyeznek, HAMIS logikai értéket kapunk eredményül.
A XOR logikai művelet igazságtáblázata:
További több változón végezhető logikai művelet az IMPLIKÁCIÓ (IMP), a "ha a, akkor b" művelete. Az implikáció olyan művelet, mely logikai értéke pontosan akkor HAMIS, ha a műveletben részt vevő bemeneti kifejezés logikai értékének IGAZ voltából következik, hogy a műveletben részt vevő kifejezés kimeneti logikai értéke HAMIS. Az összes többi esetben a logikai értéke IGAZ.
Az IMP logikai művelet igazságtáblázata:
Végül az EKVIVALENCIA (EQ) művelete olyan logikai művelet, amely logikai értéke pontosan akkor IGAZ, ha a műveletben részt vevő két kifejezés logikai értéke azonos.
Az EQ logikai művelet igazságtáblázata:
